🦎 45 Sayısının Pozitif Tam Sayı Çarpanları

Bukilit ile yeni bir şifre oluşturmak isteyen Yeşim; soldan sağa doğru ilk iki hanede oluşturduğu iki basamaklı sayının asal çarpanları, küçükten büyüğe doğru sırayla son iki hanedeki rakamlar olacak şekilde çevirme işlemini bitirip “TAMAM” tuşuna basar. Aynızamanda asal sayılar pozitif olmalıdır ve tam bölünmelidir şeklinde bir kural bulunmaktadır. 90 sayısının çarpanları 90, 45, 30, 18, 15, 10, 9, 6, 5, 3, 2, 1’dir. Yani buradaki aralarında asal olan sayılar; (2-45) , (9-10), (18-5). Aralarında asal sayı elde edebilmek aslında çok kolay biraz çarpanlara ayırma Yalnızca1 tane asal çarpanı olan bir doğal sayının pozitif tam sayı çarpanlarının; toplamı A, aritmetik ortalaması A 6 ’dır. Buna göre, bu doğal sayı en az kaçtır? A) 32 B) 27 C) 16 D) 9 14. Aşağıda birbirine eş büyüklükte olan kesir şeritleri verilmiştir. 1 ve 2. TamSayılar ; Rasyonal Sayılar; Kordinat Ve Düzlemi; 45 = 32 . 5 olduğundan, (18, 45)OKEK = 32 . 2 . 5 = 90 olur. 2. Yol: (18, 45)OKEK = 2 . 32 . 5 = 90 dır. Buradan, tüm bölenlerin sayısı, pozitif bölenlerin sayısının iki katına eşit olduğundan, 2 . 6 = 12 olur. Örnek 5: negatiftam sayılar sıfır pozitif tam sayılar. zarar (referans noktası) kâr. borç Bir doğal sayının çarpanları, kat ve bölenleri arasındaki ilişki vurgulanır. 10. Sayıların çift ve tek olma durumları inceletilerek bir sayının çarpanlarından biri tek sayı diğeri çift sayı ise bu EKOK ( 12, 45) = .5 = 90 sayıdenir. 4. Pozitif Tam Sayılar Z { 1,2,3, } kümesinin her bir elemanına, pozitif tam sayı denir. 5. Negatif Tam Sayılar {. . . - 3,-2, - 1 } _ Z kümesinin her bir elemanına, negatif tam sayı denir. Uyarı Sıfır bir tam sayıdır. Ancak sıfır pozitif veya negatif değildir. Yani iaretsizdir. Sonuç ; mpozitif çift tamsayı ve a R+ ise sayısı bir reel sayıdır., , reel sayılardır. m pozitif çift tamsayı ve a R- ise sayısı bir reel sayı değildir., , reel sayılar değildir. NOT:, , sayıları reel sayı değildir ;çünkü hiçbir reel sayının karesi –1,-4 ve –9 değildir. 25 48,4 2 2 =45 4 2=88-4 5 -16 8 225 704 225 745 48 SIQA. Farkı sayıların mutlaka çarpanları bulunur. Hatta asal sayıların dahil belli çarpanları yer almaktadır. Peki 48'in çarpanları nelerdir? Kısaca 48 sayısının çarpanları nasıl bulunur? İşte bu konu hakkında merak edilen farklı - 0510 Son Güncellenme - 0510 Güncelleme - 0510 Kolay birkaç işlemi tamamlamak suretiyle 48 sayısının çarpanlarını ortaya çıkarmak mümkün. Özellikle matematik üzerinden işlem gerçekleştirirken, bir sayının çarpanlarını bulmak büyük öneme sahiptir. 48'in Çarpanları Nelerdir? 48 sayısının çarpanları, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48’ olarak öne çıkar. Buradan yola çıkmak suretiyle verilen rakamların her birini birbiri ile çarpmak yine 48 sayısını verir. Yani yapılacak bu sağlama sayesinde 48'in çarpanları oldukları anlaşılabilir. Kısaca 48 Sayısının Çarpanları Nasıl Bulunur? Kolay birkaç işlemi tamamlamak suretiyle 48 sayısının çarpanlarını bulmak mümkün. Bunu yapmak için obeb ve okek işlemleri gerçekleştirilmektedir. Yani 2 sayısından başlamak suretiyle 48 son sayısına kadar bölünmelidir. Böylece 1 sayısından başlamak suretiyle 48 sayısına kadar, 48 rakamının çarpanları kolayca ortaya çıkarılabilir. Daha sonra ise farklı Matematik işlemleri yapılırken bu çarpanları kullanmak mümkündür. KONUYLA İLGİLİ KAZANIMLAR Verilen pozitif tam sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını bulur, pozitif tam sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını üslü ifadelerin çarpımı şeklinde İki doğal sayının en büyük ortak bölenini EBOB ve en küçük ortak katını EKOK hesaplar, ilgili problemleri Verilen iki doğal sayının aralarında asal olup olmadığını belirler. Pozitif Tam Sayıların Tam Sayı Çarpanları Bölme İşlemi a, b, c, k birer doğal sayı ve b \ne 0 olmak üzere, bölme işlemi a bölünenb bölenc bölümk kalan olarak adlandırılır. a = b . c + k Bölünen sayı; bölen ile bölümün çarpımının, kalan ile toplamına eşittir. 0 \textcolor{blue}{\le} k \textcolor{red}{\lt} b Kalan, bölenden küçüktür. Kalansız Bölünebilme Bir doğal sayı, bir sayma sayısına bölündüğünde kalan 0 sıfır oluyorsa bu işleme kalansız bölme işlemi denir ve “bu doğal sayı, o sayma sayısına tam olarak bölünüyor” veya “bu doğal sayı, o sayma sayısına kalansız bölünebiliyor” denir. 2 İle Bölünebilme Kuralı Birler basamağındaki rakam 0,2,4,6,8 olan sayılar 2 ile kalansız bölünebilir. İki ile kalansız bölünebilen sayılara çift sayılar denir. Diğer bir ifade ile birler basamağı 0,2,4,6,8 olan sayılar çift sayılardır. Örneğin, 120, 32, 2018 sayıları çift sayılardır ve 2 ile kalansız bölünebilirler. *İki ile kalansız bölünemeyen 1 kalanını veren sayılara tek sayılar denir. Diğer bir ifade ile birler basamağı 1,3,5,7,9 olan sayılar tek sayılardır. Örneğin; 121, 33, 2017 sayıları tek sayılardır ve 2 ile bölündüğünde 1 kalanını verirler. 3 İle Bölünebilme Kuralı Bir doğal sayının basamaklarındaki rakamların sayı değerleri toplamı 3 ile kalansız tam bölünüyorsa bu sayı 3 ile kalansız tam bölünebilir. Örneğin; 2352 sayısı 3 ile tam bölünebilir. 4 İle Bölünebilme Kuralı Bir sayının 4 İle tam bölünebilmesi için 00 veya 4’ün katı olması gerekir. Örneğin; 100, 344, 28 gibi sayılar tam bölünür. 5 İle Bölünebilme Kuralı Bir doğal sayının birler basamağındaki rakam 0 veya 5 ise bu sayı 5’e kalansız bölünebilir. Örneğin; 100, 345, 455 gibi sayılar tam bölünür. 6 İle Bölünebilme Kuralı Bir sayı hem 2 hem de 3 ile kalansız bölünebiliyorsa bu sayı 6 ile kalansız bölünebilir. Yani rakamları toplamı 3’ün katı olan çift sayılar 6’ya tam bölünebilir. Örneğin; 102, 342, 96 gibi sayılar tam bölünür. 8 İle Bölünebilme Kuralı Sayının son üç basamağının 000 ya da 8 in katı olması gerekir. Örneğin; 1000, 1200, 1592 gibi sayılar 8 ile tam bölünür. 9 İle Bölünebilme Kuralı Sayının rakamlarının sayı değerleri toplamının 9 veya 9’un katı olması gerekir. Örneğin; 108, 1350, 468 gibi sayılar 9 ile tam bölünür. 10 İle Bölünebilme Kuralı Sayının birler basamağı 0 ise o sayı 10’a bölünür. Örneğin; 10, 50, 560, 1010 gibi sayılar 10 ile tam bölünür. 11 İle Bölünebilme Kuralı Bir sayının 11’e tam olarak bölünebilmesi için, rakamların altına birler basamağından başlayarak sırasıyla +, -, +, -, … işaretleri yazılır, ardından artılı gruplar kendi arasında ve eksili gruplar kendi arasında toplanır, farkı alınır. Eğer toplam 0 ise sayı 11’e tam bölünür. Örneğin; 121, 209 gibi sayılar 11 ile tam bölünür. Aşağıdaki hesaplama aracımızdan sayıların hangi sayılara tam bölündüğünü kontrol edebilirisiniz. BİR DOĞAL SAYININ ÇARPANLARI & BÖLENLERİ Her doğal sayı iki doğal sayının çarpımı olarak yazılabilir. Bu iki sayıdan her birine o sayının çarpanı denir. Bu çarpanlar aynı zamanda o sayıyı kalansız böldüğü için bir doğal sayının çarpanları aynı zamanda bölenleridir. Herhangi bir pozitif tam sayının çarpan veya bölenleri bulunurken bölünebilme kurallarından faydalanırsak kolay işlem yapmış oluruz. 24 sayısının pozitif çarpanlarını kalansız bölenlerini bulalım. 24 = 1 x 24 24 = 2 x 12 24 = 3 x 8 24 = 4 x 6 Buna göre yukarıda yazdığımız sayılar 24’ün çarpanlarıdır. Bu çarpanlar aynı zamanda 24’ün kalansız bölenleridir. 24’ün Pozitif Çarpanları & Bölenleri = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24'tür. 60 sayısının pozitif çarpanlarını bulalım. 60’ı iki sayının çarpımı şeklinde yazarsak aşağıdaki sonuçları elde ederiz. 60 = 1 x 60 60 = 2 x 30 60 = 3 x 20 60 = 4 x 15 60 = 5 x 12 60 = 6 x 10 60’ın Pozitif Çarpanları & Bölenleri = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60’tır. Alıştırmalar Soru 1 Aşağıda verilen sayıların çarpanlarını bulunuz. 20 = ?24 = ?42 = ?12 = ?343 = ?50 = ? 60 = ?40 = ?91 = ?180 = ?200 = ?144 = ? 64 = ?18 = ?32 = ?45 = ?360 = ?243 = ? Aşağıdaki hesaplama aracımızdan Alıştırmada verilen sayıların çarpanlarını kontrol edebilirisiniz. Factors and Prime Factors Soru 2 24 sayısının pozitif çarpanlarının toplamı kaçtır? Soru 3 45 sayısının pozitif çarpanlarının kaç tanesi iki basamaklıdır? Soru 4 50 sayısının bölenlerinden kaç tanesi tek sayıdır? Soru 5 1, 2, x, 4, y, 9, 12, 18, zsayıları bir doğal sayının tüm pozitif çarpanları olduğuna göre x+y-z kaçtır? Soru 6 Alanı 42 cm2 olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları bir tam sayı olduğuna göre çevre uzunluğunun alabileceği değerleri bulunuz. Soru 7 Alanı 50 cm2 olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları bir tam sayı olduğuna göre çevre uzunluğunun alabileceği değerleri bulunuz. Gökkuşağı Modeli Bir doğal sayının çarpanlarını aşağıdaki gökkuşağı modelini kullanarak da gösterebiliriz. Örneğin 28’in çarpanlarını bulup gökkuşağı modeli ile aşağıdaki gibi gösterebiliriz. 28'in çarpanlarının gök kuşağı modeli ile gösterimi LGS'de ne gelir? ♛LGS 2018 Çıkmış Soru LGS 2018 Çıkmış Soru Yukarıda her bir bölümü dikdörtgen şeklinde olan dikdörtgen biçimindeki kat planı üzerinde bazı bölümlerin alanları verilmiştir. Bu dikdörtgenlerin her birinin kenar uzunlukları metre cinsinden birer doğal sayı olduğuna göre alanı verilmeyen bölümlerin alanları toplamı en az kaç metrekaredir? A 36 B 54 C 64 D 76 ASAL SAYILAR Pozitif çarpanları & bölenleri 1 ve kendisi olan 1’den büyük sayılara asal sayılar denir. 1 ile 100 ARASINDAKİ ASAL SAYILAR 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ve 97 olmak üzere 25 adettir. 1 asal sayı küçük asal sayı 2'dir. Asal sayılar arasında 2'den başka çift sayılar 50'ye kadar 15 asal sayı 100'ye kadar 25 asal sayı 57, 91 asal sayı değildir. Aşağıdaki hesaplama aracımızdan Alıştırmada verilen sayıların asal olup olmadıklarını kontrol edebilirisiniz. Eratosthenes Kalburu iki sayı arasındaki asal sayıları bulmak için oldukça kullanışlı,eğlenceli ve basit bir yöntem. 1’e asal sayı olmadığı için çarpı işareti bir asal sayı olduğu için daire içine alın, daha sonra 2’nin tüm katlarına çarpı işareti de daire içine alın ve katlarına da çarpı işareti daire içinde alın ve katlarına da çarpı işareti daire içinde alın ve katlarına da çarpı işareti koyun. 100’e kadar olan tüm sayılara bu işlemi uygularsanız, 100’e kadar olan asal sayıları bulursunuz. Bulduğunuz asallarla 1000’e kadar olanları, onlarla kadar olanları da bulursunuz ve bu sonsuza kadar gider. Bu yönteme Eratosthenes’in Kalburu denir. Aralarında Asal Sayılar İki ya da daha fazla doğal sayının 1’den başka ortak böleni yoksa bu sayılara aralarında asal sayılar denir. Bir grup sayının aralarında asal olması için bu sayıların kendilerinin asal olması gerekmez, önemli olan sayıların 1 dışında pozitif ortak böleni olmamasıdır. Negatif sayılar asal olamasalar da aralarında asal olabilirler. Ardışık iki pozitif tek sayı her zaman aralarında asaldır. 81 ve 83 aralarında asaldır. Aralarında asal iki sayının toplamları ve çarpımları olan iki sayı da aralarında asaldır. 5 ve 7 aralarında asaldır. Dolayısıyla 5 + 7 = 12 ve 5 x 7 = 35 de aralarında asaldır. Örnek \frac {x-3} {y+2}= \frac {14} {10} eşitliğinde x-3 ile y+2 aralarında asaldır. Buna göre; \frac {x} {y} kaçtır? Çözüm \frac {x-3} {y+2}= \frac {14} {10} eşitliğinde 10 ve 14 aralarında asal oluncaya kadar sadeleştirilir. \frac {x-3} {y+2}= \frac { { = \frac {7} {5} {x-3}=7 {x}=7+3=10 {y+2}=5 {y}=5-2=3 \frac {x} {y}= \frac {5} {3} olarak bulunur. Alıştırmalar - 2 Soru 1 1A sayısı iki basamaklı bir asal sayı ise A’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır ? Soru 2 İki basamaklı en büyük asal sayı ile iki basamaklı en küçük asal sayının farkı kaçtır ? ASAL ÇARPANLAR Bir doğal sayının çarpanlarından asal sayı olanlara o sayının asal çarpanları denir. 75 sayısının asal çarpanlarını bulalım. Örneğin, 75 sayısının tüm çarpanları 1, 3, 5, 15, 25, 75 olup; bunlar arasında asal sayı olanlar 3 ve 5'tür. O halde 75 sayısının asal çarpanları 3 ve 5'tir. Örneğin, 24 sayısının tüm çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 olup; bunlar arasında asal sayı olanlar 2 ve 3'tür. O halde 24 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür. Bir doğal sayının hangi asal sayıların çarpımından meydana geldiğini iki yöntemle bulabiliriz. Yöntem Asal Çarpanlar Algoritması Bölen ListesiÇarpan Ağacı Yönetimi Yöntem Asal Çarpanlar Algoritması Bölen Listesi Sayımızın yanına dikey bir çizgi çekeriz ve en küçük asal sayıdan başlayarak ve tam bölünmediğinde bir sonraki asal sayıya geçerek bölme işlemi yaparız. 1’i elde edince işlemimiz sona erer. Çizginin sağında kalan sayılar sayımızın asal çarpanlarıdır. Bölen listesinde çizginin sağındaki asal sayıların çarpımı, çarpanlarına ayırdığımız sayıyı verir. Bir sayıyı bu şekilde yazarsak asal çarpanlarının tabanlarda bulunduğu üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazmış oluruz. 72 sayısını bölen listesi ile asal çarpanlarına ayıralım. 2’den başlayarak asal sayılara sırayla bölüyoruz. 1’i elde ettiğimizde çizginin sağ tarafında kalan sayılar 72’nın asal çarpanlarıdır. 72 sayısın asal çarpanları 2 ve 3'tür. 72 = 23 . 32 olarak bulunur. Çarpan Ağacı Yönetimi Bir sayıyı iki sayının çarpımı şeklinde yazarız. Daha sonra bulduğumuz sayıları asal sayı olana kadar bu işleme devam ederiz. Oluşan dalların uçlarındaki sayılar sayımızın asal çarpanlarıdır. Çarpan ağacında dalların uçlarındaki asal sayıların çarpımı, çarpanlarına ayırdığımız sayıyı verir. Bir sayıyı bu şekilde yazarsak asal çarpanlarının tabanlarda bulunduğu üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazmış oluruz. Örneğin; 60 sayısını çarpan ağacı yöntemi ile çarpanlarına ayıralım. 60 sayısının asal çarpanları 60 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60’tır. 60 sayısının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmış hali 60 = 22 . 3 . 5 tir. Örneğin; 24 sayısını çarpan ağacı yöntemi ile çarpanlarına ayıralım. 24 sayısının asal çarpanları 24 sayısının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmış hali 24 = 23 . 31 olarak bulunur. Bölen & Çarpan Sayısı Bir A sayısının pozitif bölenlerinin sayısı asal çarpan kuvvetlerinin birer fazlasının çarpımına eşittir. Bir bölenin negatif işaretlisi de aynı sayının böleni olduğu için pozitif ve negatif tüm bölenlerin sayısı pozitif bölenlerin sayısının iki katına eşittir. A = x^a \cdot y^b \cdot z^c Pozitif bölenlerin sayısı = a + 1b + 1c + 1 olarak bulunur. Örneğin; 360 sayısının pozitif bölen sayısını bulalım, Asal Çarpanları 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 360 = 23 . 32 . 51 üsleri bir arttırıp çarpmamız gerekiyor. 3+1 . 2+1 . 1+1 = 4 . 3 . 2 = 24 adettir. Kontrol edelim; 1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 18 20 24 30 36 40 45 60 72 90 120 180 360 olmak üzere 24 adet olarak bulunur. Soru 1 24 sayısının pozitif çarpan sayısı kaçtır? Çözüm 24 sayını asal çarpanlarına ayrılmış şekilde yazalım. 24 = 23 . 31 dir. 3+1 . 1+1 = 4 . 2 = 8 adet olarak bulunur. Kontrol edelim, 1 2 3 4 6 8 12 24 Soru 2 200 sayısını asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazıp inceleyelim. 200'ün asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılışı 200 = 2^3 \cdot 5^2 Asal bölenler 2, 5 Asal bölenlerin toplamı 2 + 5 = 7 Asal bölenlerin sayısı 2 Pozitif bölenlerin sayısı 3+1 . 2+1 = 4 . 3 = 12 Pozitif bölenler 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200 Tüm pozitif ve negatif bölenlerin sayısı 12 . 2 = 24 Asal olmayan pozitif bölenlerin sayısı 12 - 2 = 10 Asal olmayan pozitif bölenler 2 ve 5 hariç pozitif bölenler Asal olmayan bölenlerin sayısı 24 -2 = 22 Tek sayı pozitif bölenlerin sayısı 2+1 = 3 Tek sayı pozitif bölenler 1, 5, 25 Çift sayı pozitif bölenlerin sayısı 12 - 3 = 9 Çift sayı pozitif bölenler Yukarıdaki tek sayı pozitif bölenler hariç tüm pozitif bölenler. 200 sayısının 12 pozitif böleninin çarpımını hesaplayalım. = \sqrt{200^{3 + 12 + 1}} = 200^6 olarak bulunur. SoruPozitif Tam Sayıların Pozitif Tam Sayı Çarpanları 4 1. A 2 B 2 C 3 D 5 E 5 1 Yukarıda A sayısının asal çarpanlar algoritması verPozitif Tam Sayıların Pozitif Tam Sayı Çarpanları 4 1. A 2 B 2 C 3 D 5 E 5 1 Yukarıda A sayısının asal çarpanlar algoritması veril- miştir. A-B Buna göre kaçtır? E 30 B 45 € 90 P1 120 2. 160 ve 189 sayılarının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi Soru Çözümünü GösterHesabını çözümünü gör!Ücretsiz 3 soru kredisi kazan Günlük hediyelerini alFotoğraflarla sorularını sor pozitif tam sayıların çarpanları konu anlatımı sayfasına hoş geldiniz. işlediğimiz çarpanlar ve katlar konusunun biraz daha pozitif tam sayılar iki doğal sayının çarpımı biçiminde yazılabilir. Bu doğal sayıların her birine o pozitif tam sayının çarpanları veya bölenleri denir. Tanımdan da anlaşılacağı gibi çarpanı demek ile böleni demek aynı şeydir. Bir sayının çarpanları ile bölenleri aynı bazı pozitif tam sayıların çarpanlarının bölenlerinin nasıl bulunduğu sayısının çarpanları bölenleri Yukarıda görüldüğü üzere 12 tam sayısının 1,2,3,4,6,12 olmak üzere toplam 6 tane çarpanı böleni sayısının çarpanları bölenleri Yukarıda görüldüğü üzere 60 tam sayısının 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60 olmak üzere toplam 12 tane çarpanı böleni sayısının çarpanları bölenleri Yukarıda görüldüğü üzere 100 tam sayısının 1,2,4,5,10,20,25,50,100 olmak üzere toplam 9 tane çarpanı böleni Bütün pozitif tam sayıların en küçük çarpanı böleni 1, en büyük çarpanı böleni ise sayının kendisidir. Örneğin 250 sayısının en küçük böleni 1, en büyük böleni ise kendisi yani 250’ Yukarıdaki örnekleri incelediğinizde 12 ve 60 sayılarının çarpanlarının sayısı çift iken 100 sayısının çarpanlarının sayısı tek bir sayıya eşittir. 100 sayısı 10 sayısının karesidir. Bu tarz sayılara yani bir sayının karesine eşit olan sayılara tam kare sayılar denir ve tam kare sayıların çarpanlarını bulduğunuzda hep tek sayıda çarpanı olduğunu görürsünüz. Örneğin 25 sayısının çarpanlarını hesapladığınızda 1,5,25 olarak bulursunuz, 3 tane çarpanı vardır 3 tek sayıdır. Konu ile ilgili test çözmek için tıklayınız.

45 sayısının pozitif tam sayı çarpanları